บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส

 หลังจากที่เราได้ศึกษาทฤษฎีบทพีทาโกรัสกันไปแล้วต่อไปจะขอกล่าวถึง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส นะครับ

สำหรับบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัสนั้นได้กล่าวไว้ว่า  ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง มีพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว มุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก

สำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้าน a, b และ c ถ้า  c²  =  a² + b²  แล้วมุมระหว่าง a กับ b จะวัดได้ 90°

จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม

• ถ้า  c²  =  a² + b²  สามเหลี่ยมนั้นจะเป็น "สามเหลี่ยมมุมฉาก"
• ถ้า  c²  <  a² + b²  สามเหลี่ยมนั้นจะเป็น "สามเหลี่ยมมุมแหลม"
• ถ้า  c²  >  a² + b²  สามเหลี่ยมนั้นจะเป็น "สามเหลี่ยมมุมป้าน"
• 
  

ต้วอย่างที่  1    ∆ABC  มีด้านยาว  6  หน่วย  12  หน่วย  และ  13  หน่วย  ตามลำดับ   ∆ABC  เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

วิธีทำ                                       ให้       a  =  6

                                                           b  =  12

                                                           c  =  13

จะได้                          a²  =  36

                                 b²  =  144

                                 c²  =  169

                      a²  + b²   =  36  +  144  =  180

              จะเห็นว่า  c²   ≠  a²  + b²   

นั่นคือ  ∆ABC  ไม้เป็นสามเหลี่ยมมุฉาก

ต้วอย่างที่  2    ∆ABC  มีด้านยาว  9  หน่วย  12  หน่วย  และ  15  หน่วย  ตามลำดับ   ∆ABC  เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

วิธีทำ                                       ให้       a  =  9

                                                           b  =  12

                                                           c  =  15

จะได้                          a²  =  81

                                 b²  =  144

                                 c²  =  225

                      a²  + b²   =  81  +  144  =  225

              จะเห็นว่า  c²   =  a²  + b²   

นั่นคือ  ∆ABC  เป็นสามเหลี่ยมมุฉาก

ตัวอย่างที่3  กำหนดรูป สามเหลี่ยม ABC ดังรูป จงแสดงว่า สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

แนวคิด  ต้องทำการพิสูจน์ว่าถ้า  AB²  =  AC² +  CB²  แล้ว สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

   แต่ถ้า  AB²  ≠  AC² + CB² แล้ว สามเหลี่ยม ABC ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิธีทำ                                                    สามเหลี่ยม CDB เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

                                                            จะได้ว่า  CB²  =  CD²  +  DB²

                                                              โดยที่   CD    =  12  และ  DB  =  16

                                                                        CB²  =  (12)²  +  (16)²

                                                                        CB²  =  144  +  256

                                                              ดังนั้น    CB²  =  400

                                                            สามเหลี่ยม ADC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

                                                                                 จะได้ว่า  AC²  =  AD²  +  DC²

                                                              โดยที่    AD    =  9  และ  DB  =  12

                                                                         AC²  =  (9)²  +  (12)²

                                                                         AC²  =  81  +  144

                                                              ดังนั้น    AC²  =  225

จาก  AB²  =  AC²  +   CB²   แล้ว  สามเหลี่ยม  ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

            จะได้ว่า  AC²  +   CB²   =  225 + 400  =  625

              AB²  =  ( 16 + 9 )²  =  625

                ดังนั้น  AB²  =  AC²  +   CB²   

แสดงว่า  สามเหลี่ยม  ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีมุม  C เป็นมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ( The Pytagorean Theorem )

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส  หรือที่บางคนเรียกว่าทฤษฎีสามเหลี่ยมมุมฉาก  ทีจะกล่าวต่อไปนี้เชื่อกันว่านักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ  พีทาโกรัส  เป็นผู้พิสูจน์ได้เป็นคนแรก

จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  ABC  โดยมีมุม  C  เป็นมุมฉาก  

โดยทั่วไปแล้วจะนิยมใช้ตัวอักษรแทนความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมสอดคล้องกับจุดยอดมุมที่อยู่ตรงกันข้ามเช่น  a  แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม  A  ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุม  เป็นต้น

เรียก  c  ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก
เรียก  a  และ  b  ว่าด้านประกอบมุมฉาก
และด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็นด้านที่ยาวที่สุด     

สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆนั้น  พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก  จะมีค่าเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านประกอบมุมฉาก  จากทฤษฎีบทจะได้ว่า

                          c²   =  a²+b²

ตัวอย่าง      จงหาความยาวของด้าน  c

วิธีทำ 
        จากรูป โจทย์กำหนดให้ค่าของ  a=4 , b=3 และให้หาค่าของ c 
         จาก   c²   =    a²+ b²
        จะได้ว่า    c²      =      4² + 3² 
                        c²      =      (4 x 4) + (3 x 3)
                        c²      =      16 + 9
                        c²      =      25
                        c²      =      5²
 ดังนั้น              c        =      5

ตอบ   c ยาว 5 หน่วย 

ประวัติและความเป็นมา

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ประวัติและความเป็นมา

พีทาโกรัสได้กำเนิดที่เมืองซามอส (Samos) ประเทศกรีซ  เมื่อประมาณ 559 ก่อนคริสต์ศักราช  (Greece)พีทาโกรัสเป็นบุตรชายของพีทาอิส และ เนซาร์คัส เพื่อที่จะหลีกหนีจากรัฐบาลทรราชของโพลีเครติส เขาได้ออกจากบ้านเกิดเมืองนอนของเขาไปที่โครโทน (Croton) ทางตอนใต้ของอิตาลีในสมัยที่เขาเป็นชายหนุ่ม  ผู้เชี่ยวชาญหลายคนคาดคเนว่าก่อนที่พีทาโกรัสถึงเมืองโครโทนนั้น เขาได้เยี่ยมเยียนนักปราชญ์ของอียิปต์และบาบีโลนก่อน เมื่อเขาได้ย้ายถิ่นฐานจากซาโมสมายังโครโทน พีทาโกรัสก็ได้ก่อตั้งสมาคมศาสนาลับ ที่คล้ายคลึงกับลักธิออร์เฟอัสที่มีอยู่ก่อนหน้านั้น

พีทาโกรัสได้จัดปฏิรูปวัตนธรรมของชาวโครโทน ณ เมืองโครโทน เขาได้แนะให้ชาวเมืองทำตามจริยธรรมและสร้างกลุ่มสาวกของพีทาโกรัส หลังจากนั้นพีทาโกรัสก็ได้เปิดสถานศึกษา โรงเรียนของพีทาโรกัสเปิดรับทั้งชายและหญิง แต่ผู้ที่สำหรับผู้ที่จะเข้าร่วมนั้นจำเป็นต้องสละทรัพย์สิน และต้องกินอยู่แบบมังสวิรัตที่โรงเรียน และเรียกตัวเองว่ามาเทมาทิคอย (Mathematikoi) คนอื่นๆ ที่อยู่ในพื้นที่ใกล้เคียงก็สามารถเข้าเรียนได้ด้วย แต่จะไม่จำเป็นต้องสละทรัพย์สิน หรือใช้ชีวิตแบบมังสวิรัต

พีทาโกรัสไม่เพียงแต่มีความสำคัญต่อวิชาคณิตศาสตร์  แต่เขายังได้รับการขนานนามว่าเป็น"บิดาแห่งตัวเลข"  เขายังได้สร้างสรรค์ความคิดให้กับปรัชญาและศาสนาอีกมากมาย ในช่วงปลายศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล ถึงทุกวันนี้ ซึ่งผลงานของพีทาโกรัสอาจจะพอสรุปได้ดังนี้คือ

• พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส(สามเหลี่ยมมุมฉาก)
• จำนวนเชิงรูปเหลี่ยม เช่น จำนวนเชิงสามเหลี่ยม , จำนวนเชิงจตุรัส 
• พีชคณิตเชิงเรขาคณิต 
• จำนวนคู่และจำนวนคี่ 
• เป็นผู้ค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างเศษส่วนกับทฤษฎีของดนตรี 
• จำนวนอตรรกยะ